91 lines
2.4 KiB
Matlab
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Matlab
%% Setup
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% Inizializzazione costanti
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p1 = 0.003;
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p2 = 0.025;
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p3 = 0.000013;
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V1 = 12;
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VG = 126;
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n = 5/54;
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Gb = 81;
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Ib = 15;
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% Inizializzazione solver simbolico con funzioni del sistema
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syms G beta I gamma r
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f = [-p1*(G-Gb)-beta*G+gamma/VG, -n*I + r/V1, -p2*beta + p3*(I-Ib)];
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g = G;
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x = [G, I, beta];
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u = [r gamma];
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%% Calcolo punto di equilibrio
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% L'ingresso del sistema è dato dal testo
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r_eq = 16.66667;
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gamma_eq = 0;
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u_eq = [r_eq gamma_eq];
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%%% Soluzione a mano
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% Ponendo il sistema di equazioni a zero e risolvendo a mano risulta
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I_eq = r_eq/(n*V1);
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beta_eq = p3/p2 .* (I_eq - Ib);
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G_eq = (gamma_eq/VG + p1*Gb)/(p1+beta_eq);
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x_eq = [ G_eq I_eq beta_eq ];
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% Osserviamo che G_eq corrisponde al valore corretto di glicemia (81)
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%%% Soluzione con solver simbolico
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% Essendo il sistema non-lineare, è necessario utilizzare il motore
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% simbolico per risolvere il sistema di equazioni
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[G_eq, I_eq, beta_eq] = solve(subs(f,u,u_eq)==[0 0 0]);
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% Il comando double calcola il valore delle frazioni
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x_eq = double([ G_eq I_eq beta_eq ])
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% Il risultato calcolato da MATLAB è identico a quello trovato a mano
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%% Linearizzazione del sistema
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% Lo jacobiano si può calcolare sia a mano che utilizzando il motore
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% simbolico di MATLAB. La seguente soluzione implementa il secondo metodo
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% Per ogni matrice si calcola prima lo jacobiano corrispondente e poi si
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% effettua la sostituzione utilizzando il comando subs, che ci permette di
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% sostituire le variabili di stato / l'input del sistema con il
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% corrispondente valore nel punto di equilibrio
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A = jacobian(f,x);
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A = double(subs(A,x,x_eq));
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B = jacobian(f,u);
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B = double(subs(B,u,u_eq));
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C = jacobian(g,x);
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C = double(subs(C,x,x_eq));
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D = jacobian(g,u);
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D = double(subs(D,u,u_eq));
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%% Studio stabilità
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s = tf('s');
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W = minreal(zpk(inv(s*eye(size(A))-A)));
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%%% Stabilità interna
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E = real(eig(A))
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% Il sistema è stabile perché tutti gli autovalori sono negativi
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%%% Stabilità BIBO
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H = C*W*B;
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p = pole(H)
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% Il sistema + stabile BIBO in quanto tutti i poli sono negativi
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%% Studio raggiungibilità e controllabilità
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M_R = ctrb(A,B);
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rank(M_R)
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% La matrice è di rango 3, quindi il sistema è completamente raggiungibile
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%% Progettazione della legge di controllo
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lambda_k = [-1 -2 -3];
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% Calcolo K
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K = place(A,B(:,1),lambda_k);
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% Non serve calcolare alfa in quanto il controllore serve solo a far si che
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% il sistema non si sposti dallo stato di equilibrio
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