136 lines
2.8 KiB
Matlab
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%% Setup dati
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s = tf('s');
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A = [0 -1 5; 0 0 3; 0 0 -2];
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B = [1 1 1]';
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C = [0 0 5];
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D = 0;
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W = minreal(zpk(inv(s*eye(size(A))-A)));
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% Nota: valutare sempre che faccia le cancellazioni
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% se no inserire una tolleranza
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% Definizione t
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t = linspace(0,4,100);
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%% Punto 1
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%%% Stabilità interna
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E = real(eig(A))
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% Il -2 appare con molteplicità singola -> OK
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% Lo zero appare con molteplicità doppia, dobbiamo valutare il polinomio minimo
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% Calcolo diretto delle radici del polinomio minimo con MATLAB
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E_min = roots(minpoly(A))
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% Alternativa calcolando il polinomio minimo identificando il lcm della matrice Af
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% Per semplificare numeratore / denominatore prima fattorizzo con zpk e poi chiamo minreal
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Af = W;
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% il polinomio minimo è
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p_min = s^2*(s+2);
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% Lo 0 appare con molteplicità due, pertanto il sistema è instabile
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%%% Stabilità BIBO
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H = C*W*B;
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p = pole(H)
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% Tutti i poli devono essere negativi
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% L'unico polo è -2 (negativo), quindi è BIBO stabile
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%% Punto 2
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% Calcolo risposta forzata con u(t) = 9 epsilon(t)
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U = 9/s; % Trasformata dell'ingresso
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Yf = minreal(zpk(H*U));
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[num_Xf,den_Xf] = tfdata(Yf,'v');
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[r1,p1] = residue(num_Xf,den_Xf)
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% Ys = 22.5/s - 22.5/(s+2)
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Ytf = 22.5 - 22.5 * exp(-2*t);
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%% Punto 3
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% Calcolo risposta libera (dati 1)
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Xz1 = [1 5 0]';
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Yf = minreal(zpk(C*W*Xz1));
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[num_Xf,den_Xf] = tfdata(Yf,'v');
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[r1,p1] = residue(num_Xf,den_Xf)
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Yt1 = 0*t;
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% Perché X(3) dipende solo da se stesso e dall'ingresso (e non da X(1) e X(2))
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%% Punto 4
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% Calcolo risposta libera (dati 2)
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Xz1 = [0 0 3]';
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Yf = minreal(zpk(C*W*Xz1));
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[num_Xf,den_Xf] = tfdata(Yf,'v');
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[r1,p1] = residue(num_Xf,den_Xf)
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Yt2 = 15 * exp(-2*t);
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%% Punto 5
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% Calcoli dei punti 2 3 4 usando ss()
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% Calcolo risposta forzata con u(t) = 9 epsilon(t)
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S = ss(A,B,C,D);
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% Nota: possiamo anche calcolare la funzione di trasferimento con
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H1 = tf(S);
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H2 = zpk(S);
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Yf = step(9*S,t);
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% Calcolo risposta libera (dati 1)
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Xi1 = [1 5 0]';
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Y1 = initial(S, Xi1, t);
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% Calcolo risposta libera (dati 2)
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Xi2 = [0 0 3]';
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Y2 = initial(S, Xi2, t);
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% Plot risposta forzata
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figure
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hold on;
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plot(t,Yf, 'b');
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plot(t,Ytf, '.r');
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title("Risposta forzata")
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xlabel('Tempo (secondi)')
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ylabel('Ampiezza')
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grid
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% Plot due risposte libere
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figure
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tiledlayout(2,1)
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nexttile
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hold on
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plot(t,Y1, 'b');
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plot(t,Yt1, '.r');
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title("Risposta libera X(0) = [1 5 0]'")
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xlabel('Tempo (secondi)')
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ylabel('Ampiezza')
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grid
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nexttile;
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hold on
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plot(t,Y2, 'b');
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plot(t,Yt2, '.r');
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title("Risposta libera X(0) = [0 0 3]'")
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xlabel('Tempo (secondi)')
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ylabel('Ampiezza')
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grid
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%% Punto bonus: somma risposta forzata con risposte libere
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figure
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tiledlayout(2,1)
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nexttile
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plot(t,Y1+Yf);
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title("Risposta libera X(0) = [1 5 0]' con risposta forzata")
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xlabel('Tempo (secondi)')
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ylabel('Ampiezza')
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grid
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nexttile;
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plot(t,Y2+Yf);
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title("Risposta libera X(0) = [0 0 3]' con risposta forzata")
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xlabel('Tempo (secondi)')
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ylabel('Ampiezza')
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grid
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