Matte23/Appunti-controlli-automatici
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improvement: Add macros for lag, lead, zero, matlab, simuling

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Matteo Schiff
2024-06-05 13:44:34 +02:00
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55
ProgettareSistemi.tex
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@@ -13,6 +13,8 @@
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{physics}
\usepackage{listings}
\usepackage{xspace}
\graphicspath{ {./images/} }
\hypersetup{
@@ -61,6 +63,11 @@
\def\sernum{\sum_{n=0}^\infty}
\def\sernumo{\sum_{n=1}^\infty}
\def\matlab{\textsc{Matlab}\xspace}
\def\simulink{\textsc{Simulink}\xspace}
\def\lag{\emph{lag}\xspace}
\def\lead{\emph{lead}\xspace}
\def\zero{\emph{zero}\xspace}
\def\fdomaintoscalar{f: \D \subseteq \R^n \to \R}
\def\fdomaintovector{f: \D \subseteq \R^n \to \R^m}
@@ -134,7 +141,7 @@
\item Progettazione del controllore:
\subitem Scelta del segno di $K_c$
\subitem Scelta della pulsazione di crossover desiderata $\omega_{c,des}$
\subitem Progetto delle reti \emph{lead} o \emph{lag} necessarie a risolvere il problema (ovvero a soddisfare tutti i vincoli di progetto). In questa fase si può anche modificare $K_c$ a patto di non cambiarne il segno e di non violare il vincolo $\abs{K_c} > \gamma$.
\subitem Progetto delle reti \lead o \lag necessarie a risolvere il problema (ovvero a soddisfare tutti i vincoli di progetto). In questa fase si può anche modificare $K_c$ a patto di non cambiarne il segno e di non violare il vincolo $\abs{K_c} > \gamma$.
\item Verifica quantitativa delle prestazioni del sistema di controllo ottenuto.
\end{itemize}
@@ -401,11 +408,11 @@ Si applica quindi il criterio di Nyquist per determinare la stabilità del siste
\[ Pcl = N + Pol \]
Se Pcl è pari il sistema è stabilizzabile, e quindi il segno è corretto. Altrimenti è necessario invertire il segno
Il valore assoluto di $K_c$ si sceglie in modo che sia rispettato il vincolo ricavato negli step precedenti, che è un limite inferiore, e in modo che la funzione ad anello non intersechi la regione proibita nel diagramma di Nichols (se non è possibile si aggiungono poi le reti lag). Ricordiamo sempre che con il crescere di $K_c$ la risposta del sistema è più veloce.
Il valore assoluto di $K_c$ si sceglie in modo che sia rispettato il vincolo ricavato negli step precedenti, che se presente è un limite inferiore, e in modo che la funzione ad anello non intersechi la regione proibita nel diagramma di Nichols (se non è possibile si aggiungono poi le reti \lag). Ricordiamo sempre che con il crescere di $K_c$ la risposta del sistema è più veloce.
\paragraph{Attenzione} Per prendere tutti i punti bisogna tracciare diagramma di Bode, contorno e diagramma di Nyquist quotati (quindi con il punto critico e con $j \infty$, $-j \infty$).
\subsection{Inserimento di reti lead e lag}
\subsection{Inserimento di reti \lead e \lag}
\paragraph{Grafico di partenza} Si parte dal diagramma di Nychols tracciato con $mynqichsdsdsa(T_p, s_p)$ e $nichols(Lin)$ con $L_{in}(s) = \frac{K_c}{s^\nu}G_p G_a G_s G_f$. Si disegnano inoltre i vincoli inferiori e superiori di $\omega_c$.
\paragraph{Valore di $\omega_{c,des}$} Il valore di $\omega_c$ si sceglie in modo da ottimizzare una determinata specifica (ad esempio se ci si avvicina a $\omega_{c,max}$ si ottiene un sistema più veloce). Scegliendo il valor medio si ottiene un compromesso tra tutti i vincoli (consigliata!), scelta che risulta vantaggiosa per soddisfare i vincoli dei disturbi sinusoidali dove i limiti di $\omega_c$ sono determinati in maniera approssimata.
@@ -420,45 +427,45 @@ Il valore assoluto di $K_c$ si sceglie in modo che sia rispettato il vincolo ric
In genere non si può inserire solamente uno zero: la funzione di trasferimento deve avere un grado del numeratore che non è mai superiore al grado del denominatore per essere fisicamente realizzabile. Questa è la ragione per cui per ogni zero inserito si inserisce anche un polo, anche se ha effetto contrario rispetto a quanto desiderato.
\paragraph{Rete lead}
La rete lead è utilizzata per aumentare modulo e fase con una rete fisicamente realizzabile:
\paragraph{Rete \lead}
La rete \lead è utilizzata per aumentare modulo e fase con una rete fisicamente realizzabile:
\[ R_d (s) = \frac{1 + \frac{s}{z_d}}{1 + \frac{s}{m_d z_d}} \quad m_d > 1 \]
Scegliendo $m_d > 1$ si garantisce che il polo compaia sempre a una frequenza maggiore dello zero. Più $m_d$ cresce più il comportamento della rete lead assomiglia al comportamento di una rete con un solo zero.
Scegliendo $m_d > 1$ si garantisce che il polo compaia sempre a una frequenza maggiore dello zero. Più $m_d$ cresce più il comportamento della rete \lead assomiglia al comportamento di una rete con un solo zero.
\includegraphics[scale=0.3]{retelead.png}
Notare che un questi diagrammi di Bode si rappresenta la risposta in frequenza normalizzata su $z_d$. In questo modo la frequenza normalizzata $1$ corrisponde la frequenza dello zero $z_d$.
La rete lead permette di aumentare il modulo di una quantità finita (che cresce con il crescere di $m_d$). L'andamento della fase è sempre a campana, ovvero si può aumentare la fase solo all'interno di un certo range di frequenze. Il guadagno di fase cresce con $m_d$.
La rete \lead permette di aumentare il modulo di una quantità finita (che cresce con il crescere di $m_d$). L'andamento della fase è sempre a campana, ovvero si può aumentare la fase solo all'interno di un certo range di frequenze. Il guadagno di fase cresce con $m_d$.
\paragraph{Rete zero} Una rete zero ha come funzione di trasferimento
\paragraph{Rete \zero} Una rete \zero ha come funzione di trasferimento
\[ R_z(s) = \left(1 + \frac{s}{z}\right) \]
La rete zero è la migliore delle reti lead possibili (è il caso limite $m_d \to \infty$). Pertanto è la scelta preferenziale tutte le volte che ho $\nu \geq 1$. In particolare, dato $\nu$, è sempre possibile inserire se necessario fino ad numero massimo di reti zero pari a $\nu$. Il guadagno di fase massimo è di 90°.
La rete \zero è la migliore delle reti \lead possibili (è il caso limite $m_d \to \infty$). Pertanto è la scelta preferenziale tutte le volte che ho $\nu \geq 1$. In particolare, dato $\nu$, è sempre possibile inserire se necessario fino ad numero massimo di reti \zero pari a $\nu$. Il guadagno di fase massimo è di 90°.
\paragraph{Necessità di aggiungere poli} In alcuni casi non è sufficiente diminuire $K_c$ per soddisfare i vincoli sulla frequenza di crossover (a causa dei vincoli su $K_c$). Quindi si devono inserire dei poli per diminuire il modulo alla frequenza $\omega_{c,des}$. Inserendo solamente dei poli la fase diminuisce in modo eccessivo portando $L(s)$ nella regione proibita, quindi per ogni polo si deve anche inserire uno zero.
\paragraph{Rete lag}
\paragraph{Rete \lag}
\[ R_i(s) = \frac{1+\frac{s}{m_i p_i}}{1+ \frac{s}{p_i}} \quad m_i > 1 \]
\includegraphics[scale=0.3]{retelag.png}
Anche in questo caso il diagramma è normalizzato sulla frequenza del polo.
Inserendo una rete lag progettata opportunamente il modulo alla $\omega_c$ diminuisce e si confina la "fossa" che scava la rete lag in modo che la $L(s)$ non entri nella rete proibita (data dal vincolo sulla sovraelongazione). Per farlo è bene scegliere una $z_p$ a destra, in modo da allontanarsi dal "buco di fase".
Inserendo una rete \lag progettata opportunamente il modulo alla $\omega_c$ diminuisce e si confina la "fossa" che scava la rete \lag in modo che la $L(s)$ non entri nella rete proibita (data dal vincolo sulla sovraelongazione). Per farlo è bene scegliere una $z_p$ a destra, in modo da allontanarsi dal "buco di fase".
Bisogna fare attenzione a non "andare troppo a destra" per evitare di aumentare l'effetto coda della risposta al gradino dovuto al polo (vedi fase di verifica), in modo da soddisfare il vincolo sul tempo di assestamento.
La regola è prendere $z_p = 100$ dove la fase torna a essere a zero. In genere si sceglie un valore diverso di $z_p$ solo se l'effetto coda porta a una violazione delle specifiche. $m_i$ si può ricavare con la formula:
\[ m_i = 10^{\frac{\text{attenuazione}}{20}} \]
\subparagraph{Attenzione} Prima si inserisce la rete lead e poi la rete lag.
\subparagraph{Attenzione} Prima si inserisce la rete \lead e poi la rete \lag.
\subparagraph{Attenzione} Se possibile bisogna evitare l'utilizzo delle reti lag. Si usano solo se necessario, ovvero quando per qualsiasi $\omega_c$ possibile si deve diminuire il modulo e $K_c$ è vincolato. Utilizzare una rete lag quando non è necessario comporta una penalizzazione all'esame.
\subparagraph{Attenzione} Se possibile bisogna evitare l'utilizzo delle reti \lag. Si usano solo se necessario, ovvero quando per qualsiasi $\omega_c$ possibile si deve diminuire il modulo e $K_c$ è vincolato. Utilizzare una rete \lag quando non è necessario comporta una penalizzazione all'esame.
\subsection{Scelta di $\omega_c$, reti lead e lag}
\subsection{Scelta di $\omega_c$, reti \lead e \lag}
In seguito una breve guida per capire come scegliere i parametri del controllore.
\paragraph{Scelta di $\omega_{c,des}$} In genere si sceglie $\omega_{c,des} = \frac{\omega_{c,sup} - \omega_{c,inf}}{2}$ se la frequenza si trova in un punto con modulo inferiore a zero o se non ci sono frequenze ammissibili con modulo inferiore a zero. Nel primo caso è sufficiente inserire solo reti lead, mentre nel secondo caso non è possibile evitare d'inserire reti lag.
\paragraph{Scelta di $\omega_{c,des}$} In genere si sceglie $\omega_{c,des} = \frac{\omega_{c,sup} - \omega_{c,inf}}{2}$ se la frequenza si trova in un punto con modulo inferiore a zero o se non ci sono frequenze ammissibili con modulo inferiore a zero. Nel primo caso è sufficiente inserire solo reti \lead, mentre nel secondo caso non è possibile evitare d'inserire reti \lag.
Se il valor medio corrisponde a un punto con modulo positivo ma esiste una $\omega_c$ ammissibile dove il modulo è negativo, si sceglie $\omega_c$ a sinistra dell'asse delle ordinate in modo tale che il sistema sia progettabile senza inserire una rete lag.
Se il valor medio corrisponde a un punto con modulo positivo ma esiste una $\omega_c$ ammissibile dove il modulo è negativo, si sceglie $\omega_c$ a sinistra dell'asse delle ordinate in modo tale che il sistema sia progettabile senza inserire una rete \lag.
\subparagraph{All'esame} Riportare sul foglio il diagramma di Nichols evidenziando le regioni proibite e la scelta di $\omega_{c,des}$.
@@ -466,25 +473,25 @@ Se il valor medio corrisponde a un punto con modulo positivo ma esiste una $\ome
Il numero di reti da inserire dipende da quanto modulo e quanta fase è necessario ottenere: se il contributo dato da una rete non basta, allora si inseriscono più reti. I parametri delle due reti devono essere scelti ricordando che il contributo finale è dato dalla somma dei contributi delle reti.
Si devono quindi inserire reti lead in due casi:
Si devono quindi inserire reti \lead in due casi:
\begin{itemize}
\item Devo aumentare modulo e fase: In questo caso si progretta la rete partendo dal grafico del modulo. Infatti il modulo deve crescere in maniera precisa, mentre la fase può aumentare anche più del dovuto. Dal grafico del modulo si scegle $z_d$, e poi dal grafico della fase si sceglie $m$.
\item Devo solo aumentare la fase e devo diminuire il modulo: In questo caso si lavora solo sulla fase, in quanto il modulo è poi abbassato dalla rete lag (che va progettata successivamente). Si sceglie quindi $z_d$ attorno al \textbf{valore normalizzato} $10^0$ in modo da minimizzare il guadagno al modulo.
\item Devo aumentare modulo e fase: In questo caso si progetta la rete partendo dal grafico del modulo. Infatti il modulo deve crescere in maniera precisa, mentre la fase può aumentare anche più del dovuto. Dal grafico del modulo si sceglie $z_d$, e poi dal grafico della fase si sceglie $m$.
\item Devo solo aumentare la fase e devo diminuire il modulo: In questo caso si lavora solo sulla fase, in quanto il modulo è poi abbassato dalla rete \lag (che va progettata successivamente). Si sceglie quindi $z_d$ attorno al \textbf{valore normalizzato} $10^0$ in modo da minimizzare il guadagno al modulo.
\end{itemize}
\paragraph{Inserimento rete lag} La rete lag si progetta analizzando unicamente il guadagno. Si sceglie $z_p = 100$ e poi si calcola
\paragraph{Inserimento rete \lag} La rete \lag si progetta analizzando unicamente il guadagno. Si sceglie $z_p = 100$ e poi si calcola
\[ m_i = 10^{\frac{\text{attenuazione}}{20}} \]
\section{Verifica delle specifiche}
L'ultimo passaggio della progettazione di un sistema di controllo è la verifica delle specifiche, ovvero la verifica che il sistema progettato soddisfi effettivamente i requisiti.
Alcune specifiche si possono verificare sia con MATLAB che con SIMULINK. I metodi con MATLAB sono più veloci ed entrambe le tecniche sono accettate all'esame.
Alcune specifiche si possono verificare sia con \matlab che con \simulink. I metodi con \matlab sono più veloci ed entrambe le tecniche sono accettate all'esame.
\subsection{Verifica del transitorio con MATLAB} Si plotta la risposta al gradino dal quale si misurano sovraelongazione, tempo di salita e tempo di assestamento. I valori misurati devono essere confrontati con le specifiche.
\subsection{Verifica del transitorio con \matlab} Si plotta la risposta al gradino dal quale si misurano sovraelongazione, tempo di salita e tempo di assestamento. I valori misurati devono essere confrontati con le specifiche.
\paragraph{Sul foglio all'esame} Bisogna disegnare un grafico simile a quello disegnato da MATLAB, annotando sovraelongazione, tempo di salita e tempo di assestamento.
\paragraph{Sul foglio all'esame} Bisogna disegnare un grafico simile a quello disegnato da \matlab, annotando sovraelongazione, tempo di salita e tempo di assestamento.
\paragraph{Nota} In alcuni casi la risposta al gradino, dopo aver raggiunto il massimo, tende ad avvicinarsi lentamente al valore di riferimento (effetto coda). Questo valore si presenta con le reti lag ed è tanto maggiore quanto è grande il valore del polo normalizzato della rete lag.
\paragraph{Nota} In alcuni casi la risposta al gradino, dopo aver raggiunto il massimo, tende ad avvicinarsi lentamente al valore di riferimento (effetto coda). Questo valore si presenta con le reti \lag ed è tanto maggiore quanto è grande il valore del polo normalizzato della rete \lag.
\subsection{Verifica delle specifiche polinomiali} Per verificare le specifiche sui disturbi polinomiali si calcolano i limiti, in modo simile rispetto a quanto fatto per il primo step.