From 1a13fb348440156d01d15c02a5c3ccaa890eee67 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Matte23 Date: Tue, 9 Jul 2024 18:07:51 +0200 Subject: [PATCH] fix: Varie correzioni --- ProgettareSistemi.tex | 37 +++++++++++++++++++------------------ 1 file changed, 19 insertions(+), 18 deletions(-) diff --git a/ProgettareSistemi.tex b/ProgettareSistemi.tex index dff75c6..b4876f7 100644 --- a/ProgettareSistemi.tex +++ b/ProgettareSistemi.tex @@ -130,22 +130,22 @@ \paragraph{Fasi di progetto} La progettazione di un sistema di controllo a loop si divide in diverse fasi: \begin{itemize} - \item Traduzione delle specifiche in vincoli di progetto. Si ottiene + \item Traduzione delle specifiche in vincoli di progetto. Si ootengono dei vincoli su \[ \begin{cases} G_f \\ \nu \\ \abs{K_c} > \gamma \\ \omega_c \in [\underline{\omega_c}, \overline{\omega_c}] \\ - \text{Regioni proibite nel diagramma di Nichols} + \text{Regioni proibite nel diagramma di Nichols } (T_p, S_p) \end{cases} \] \item Progettazione del controllore: \subitem Scelta del segno di $K_c$ \subitem Scelta della pulsazione di crossover desiderata $\omega_{c,des}$ - \subitem Progetto delle reti \lead o \lag necessarie a risolvere il problema (ovvero a soddisfare tutti i vincoli di progetto). In questa fase si può anche modificare $K_c$ a patto di non cambiarne il segno e di non violare il vincolo $\abs{K_c} > \gamma$. + \subitem Inserimento delle reti \lead o \lag necessarie per stabilizzare il sistema e soddisfare tutti i vincoli di progetto. In questa fase si può anche modificare $K_c$ a patto di non cambiarne il segno e di non violare il vincolo $\abs{K_c} > \gamma$. \item Verifica quantitativa delle prestazioni del sistema di controllo ottenuto. \end{itemize} -\subparagraph{Attenzione} Sbagliare il valore di $\nu$ al termine della fase uno \textbf{determina il non superamento dell'esame}. Se $\nu$ è troppo grande le specifiche di prestazione sono comunque soddisfatte, a patto di essere in grado di stabilizzare il sistema (la difficoltà aumenta con l'aumentare di $\nu$, perché diventa più complicato evadere la regione proibita). +\subparagraph{Attenzione} Sbagliare il valore di $\nu$ al termine della fase uno \textbf{determina il non superamento dell'esame}. Un $\nu$ più grande del necessario porta comunque a soddisfare le specifiche di prestazione, ma rende più difficile progettare il controllore (la difficoltà aumenta con l'aumentare di $\nu$, perché diventa più complicato evadere la regione proibita). \subparagraph{Attenzione} La scelta errata del segno di $K_c$ o il fatto di progettare un sistema che risulta instabile \textbf{determina il non superamento dell'esame}. @@ -160,7 +160,7 @@ \[ y(s) = T(s) \frac{r(s)}{G_s G_f} + S(s) d_p(s) + G_p(s)S(s)d_a(s) - T(s) \frac{d_s(s)}{G_s} \] Il comportamento del sistema di controllo è completamente determinato da due funzioni: la funzione di sensitività complementare $T(s)$ e la funzione di sensitività $S(s)$. Entrambe le funzioni sono definite implicitamente dalla funzione ad anello $L(s)$. -Per imporre il comportamento complessivo è necessario andare a scegliere la forma di $L(s)$. Infatti questa tecnica di progetto si chiama \textbf{loop shaping approach}. +Per modificare il comportamento complessivo del sistema è necessario modificare la forma di $L(s)$. Infatti questa tecnica di progetto si chiama \textbf{loop shaping approach}. \paragraph{Condizioni su $T$ e $S$} Analizziamo uno per uno come i segnali si riflettono sull'uscita: @@ -186,11 +186,11 @@ Si può ottenere questa condizione facendo tendere $G_c$ ad infinito. Costruendo In ogni caso osserviamo un problema dato dal secondo punto. Ricordiamo però che la $T(s)$ è una funzione di trasferimento. Pertanto possiamo tenerla uguale a 1 a basse frequenze e poi la portiamo a 0 ad alte frequenze. In questo modo si filtra il disturbo ad alta frequenza del sensore. La condizione è avere i range di frequenza del disturbo separati da quelli del sistema (condizione che è quasi sempre verificata nei sistemi reali). \subsection{Introduzione sulla progettazione della funzione ad anello} -Osserviamo che in genere la funzione ad anello a bassa frequenza tende ad infinito per inseguire il riferimento, mentre ad alta frequenza tende a zero. Per avere il modulo che va all'infinito è necessario inserire dei poli nell'origine. +Osserviamo che in genere la funzione ad anello a bassa frequenza tende ad infinito per inseguire il riferimento, mentre ad alta frequenza tende a zero. Per avere il modulo che va all'infinito a bassa frequenza è necessario inserire dei poli nell'origine. \includegraphics[scale=0.3]{plotljw} -La funzione è globalmente decrescente. Un punto interessante è dove $\abs{L(j \omega_c)} = 1$ dove $\omega_c$ si chiama \emph{pulsazione di crossover} (notare che $\abs{T(j\omega_c)}=\abs{S(j\omega_c)}$). Questo parametro è molto importante per la progettazione perché è legato, nel diagramma di Nyquist, a dove il modulo passa da essere maggiore di uno a essere minore di uno. Per evitare d'incircolare il punto critico (caso PoL=0) la fase attorno alla frequenza $\omega_c$ deve essere superiore rispetto a -180°, in modo che la curva una volta arrivata a $\omega_c$ non abbia ancora disegnato un semicerchio. Per garantire la robustezza la fase deve essere sufficientemente grande quando mi avvicino a $\omega_c$. +Il diagramma di Bode del guadagno è globalmente decrescente. Un punto interessante è dove $\abs{L(j \omega_c)} = 1$ ($\omega_c$ si chiama \emph{pulsazione di crossover}) (notare che $\abs{T(j\omega_c)}=\abs{S(j\omega_c)}$). Questo parametro è molto importante per la progettazione perché è legato, nel diagramma di Nyquist, a dove il modulo passa da essere maggiore di uno a essere minore di uno. Per evitare d'incircolare il punto critico (caso PoL=0) la fase attorno alla frequenza $\omega_c$ deve essere superiore rispetto a -180°, in modo che la curva una volta arrivata a $\omega_c$ non abbia ancora disegnato un semicerchio. Per garantire la robustezza la fase deve essere sufficientemente grande quando mi avvicino a $\omega_c$. Individuiamo diverse zone di frequenza: \begin{itemize} @@ -273,7 +273,9 @@ Da questo requisito si estrae un vincolo del tipo $\abs{K_c} > K_{c,inf}$, nonch \frac{D_{p0}}{\beta + K_c K_P G_a G_f G_s} & \se \nu + p = h \end{cases} \] -\subparagraph{Nota} Questo caso vale solamente con un disturbo $d_p$ all'uscita. In generale questo limite va \textbf{sempre ricalcolato} perché dipende da dove è inserito il disturbo. Chiaramente i disturbi polinomiali hanno senso solo sulla catena diretta, perché la catena di retroazione è costruita dal progettusta (e quindi ha solo disturbi ad alta frequenza dati dalle misure del sensore). +\subparagraph{Nota} Questo caso vale solamente con un disturbo $d_p$ all'uscita. In generale questo limite va \textbf{sempre ricalcolato} perché dipende da dove è inserito il disturbo. Chiaramente i disturbi polinomiali hanno senso solo sulla catena diretta, perché la catena di retroazione è costruita dal progettista (e quindi ha solo disturbi ad alta frequenza dati dalle misure del sensore). + +\paragraph{Riassumendo: steady state} Ricodiamo che tra i vari $\nu$ estratti dalle specifiche si sceglie il valore massimo. Considerando che l'equazione $\nu+p > h$ manda a zero l'errore, $K_c$ si sceglie prendendo il valore massimo \textbf{tra i requisiti aventi il valore massimo di} $\nu$. \subsection{Disturbi di tipo sinusoidale $d_p$, $d_s$, $d_a$} I disturbi sinusoidali assumono un importanza rilevante perché qualsiasi disturbo periodico (e non) può essere scomposto con la trasformata di Fourier in una somma di segnali sinusoidali. @@ -323,14 +325,6 @@ Applicando la stessa regola approssimata del punto precedente: La formula approssimata che si ottiene dalla regola è \[ \omega_{l} = \omega_p \cdot 10^{-\frac{M_s^{LF}}{40}} \] -\paragraph{cose perse mezzoretta - Variazioni su G(s)} -Stiamo parlando delle incertezze del controllore ? (errore di modello) e ci preoccupiamo che anche in presenza di errori il sistema sia stabile. -\[ \overset{S_G^{Gry}} = \pdv{Gry}{G} \frac{G}{Gry} \] -\[ S_g^{Gry} = \lim_{\dd G \to 0} \overline{S_G^{Gry}} \] -\[ S_G^G = \frac{1}{1+G(s)H(s)} = S \] - -\paragraph{Riassumendo: steady state} Ricodiamo che tra i vari $\nu$ estratti dalle specifiche si sceglie il valore massimo. Considerando che l'equazione $\nu+p > h$ manda a zero l'errore, $K_c$ si sceglie prendendo il valore massimo \textbf{tra i requisiti aventi il valore massimo di} $\nu$. - \paragraph{Variazioni relative su H(s)} Ripetendo gli stessi conti con le derivate si ottiene \[ S = - \frac{G(s)H(s)}{1+G(s)H(s)} = -T(s) \] @@ -413,7 +407,7 @@ Il valore assoluto di $K_c$ si sceglie in modo che sia rispettato il vincolo ric \paragraph{Attenzione} Per prendere tutti i punti bisogna tracciare diagramma di Bode, contorno e diagramma di Nyquist quotati (quindi con il punto critico e con $j \infty$, $-j \infty$). \subsection{Inserimento di reti \lead e \lag} -\paragraph{Grafico di partenza} Si parte dal diagramma di Nychols tracciato con $mynqichsdsdsa(T_p, s_p)$ e $nichols(Lin)$ con $L_{in}(s) = \frac{K_c}{s^\nu}G_p G_a G_s G_f$. Si disegnano inoltre i vincoli inferiori e superiori di $\omega_c$. +\paragraph{Grafico di partenza} Si parte dal diagramma di Nychols tracciato con $myngridst(T_p, s_p)$ e $nichols(Lin)$ con $L_{in}(s) = \frac{K_c}{s^\nu}G_p G_a G_s G_f$. Si disegnano inoltre i vincoli inferiori e superiori di $\omega_c$. \paragraph{Valore di $\omega_{c,des}$} Il valore di $\omega_c$ si sceglie in modo da ottimizzare una determinata specifica (ad esempio se ci si avvicina a $\omega_{c,max}$ si ottiene un sistema più veloce). Scegliendo il valor medio si ottiene un compromesso tra tutti i vincoli (consigliata!), scelta che risulta vantaggiosa per soddisfare i vincoli dei disturbi sinusoidali dove i limiti di $\omega_c$ sono determinati in maniera approssimata. @@ -463,10 +457,12 @@ La regola è prendere $z_p = 100$ dove la fase torna a essere a zero. In genere \subsection{Scelta di $\omega_c$, reti \lead e \lag} In seguito una breve guida per capire come scegliere i parametri del controllore. -\paragraph{Scelta di $\omega_{c,des}$} In genere si sceglie $\omega_{c,des} = \frac{\omega_{c,sup} - \omega_{c,inf}}{2}$ se la frequenza si trova in un punto con modulo inferiore a zero o se non ci sono frequenze ammissibili con modulo inferiore a zero. Nel primo caso è sufficiente inserire solo reti \lead, mentre nel secondo caso non è possibile evitare d'inserire reti \lag. +\paragraph{Scelta di $\omega_{c,des}$} In genere si sceglie $\omega_{c,des} = \frac{\omega_{c,sup} + \omega_{c,inf}}{2}$ se la frequenza si trova in un punto con modulo inferiore a zero o se non ci sono frequenze ammissibili con modulo inferiore a zero. Nel primo caso è sufficiente inserire solo reti \lead, mentre nel secondo caso non è possibile evitare d'inserire reti \lag. Se il valor medio corrisponde a un punto con modulo positivo ma esiste una $\omega_c$ ammissibile dove il modulo è negativo, si sceglie $\omega_c$ a sinistra dell'asse delle ordinate in modo tale che il sistema sia progettabile senza inserire una rete \lag. +In alcuni casi è preferibile scegliere una $\omega_c$ inferiore rispetto al valor medio in modo da ridurre il numero di reti \lead necessarie per stabilizzare il sistema. + \subparagraph{All'esame} Riportare sul foglio il diagramma di Nichols evidenziando le regioni proibite e la scelta di $\omega_{c,des}$. \paragraph{Scelta di $K_c$} Se è necessario modificare il modulo e non la fase, è bene modificare direttamente $K_c$. Se si deve diminuire il modulo si sceglie il minimo valore possibile di $K_c$, in modo da non dover inserire reti \lag se possibile. @@ -478,6 +474,7 @@ Il numero di reti da inserire dipende da quanto modulo e quanta fase è necessar Si devono quindi inserire reti \lead in due casi: \begin{itemize} \item Devo aumentare modulo e fase: In questo caso si progetta la rete partendo dal grafico del modulo. Infatti il modulo deve crescere in maniera precisa, mentre la fase può aumentare anche più del dovuto. Dal grafico del modulo si sceglie $z_d$, e poi dal grafico della fase si sceglie $m$. + In alternativa si possono inserire prima le reti \zero o \lead per compensare la fase, e poi si fa crescere $\abs{K_c}$ in modo da compensare il modulo. \item Devo solo aumentare la fase e devo diminuire il modulo: In questo caso si lavora solo sulla fase, in quanto il modulo è poi abbassato dalla rete \lag (che va progettata successivamente). Si sceglie quindi $z_d$ attorno al \textbf{valore normalizzato} $10^0$ in modo da minimizzare il guadagno al modulo. \end{itemize} @@ -486,6 +483,10 @@ Può essere necessario evitare che combinando più reti \lead uguali la funzione \paragraph{Inserimento rete \lag} La rete \lag si progetta analizzando unicamente il guadagno. Si sceglie $z_p = 100$ e poi si calcola \[ m_i = 10^{\frac{\text{attenuazione}}{20}} \] +\paragraph{Compensazione con modifica di $K_c$} Quando Kc è libero, si può modificare il guadagno della funzione $L(s)$ applicando la seguente formula: +\[ K_c^\text{new} = K_c^\text{old} 10^{\frac{\text{modulo da guadagnare in dB}}{20}} \] +Il modulo da guadagnare può essere sia positivo che negativo. Nel caso sia negativo è necessario verificare che il nuovo $K_c$ rispetti il vincolo sul limite inferiore. + \section{Verifica delle specifiche} L'ultimo passaggio della progettazione di un sistema di controllo è la verifica delle specifiche, ovvero la verifica che il sistema progettato soddisfi effettivamente i requisiti.